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二上数学 第六单元 7、8的乘法口诀练习 逐字稿,下面一起来看看本站小编bluehouse456给大家精心整理的答案，希望对您有帮助

有动作的数学小故事1

(bluehouse456 全文整理）

同学们好。很高兴和大家一起来上一节七八的乘法口诀练习课。

我们已经学习了七的乘法口诀有七句。

八的乘法口诀学习了八句。

屏幕前的同学们，

让我们一起来读一读吧。

一七得七二七十四三七二十一四七二十八五七三十五六七四十二七七四十九。

一八得八二八十六三八二十四四八三十二五八四十六八四十八七八五十六八八六十四。

我们不仅要能够记住七八的乘法口诀。

还要能够用上这些乘法口诀，

正确计算乘法算式的结果。

请你看算式，

说口诀，

说得数。

八八六十四八乘八等于64。

五六三十五乘六等于30。

我有一个困惑，

我一遇到像八乘四这样大数在前的算式。

就不能直接按乘数的顺序快速讲出八四的口诀是多少了，

大家有什么好办法吗？

遇到这种情况，

我的办法是读完题后，

把两个乘数中较小的那个数放在前面想口诀。

比如八乘四，

两个乘数分别是八和四。

我就把四放在前面，

想四八得多少就可以了。

四八三十二，

所以八乘四等于32。

谢谢你的好方法，

我在口算时会按你说的方法试着去想口诀，

一定会越来越熟练的。

我们继续看算式，

想口诀，

说得数。

一乘七等于七。

五乘八等于40。

八乘七等于56，

我发现像八乘七这样的算式我能够知道是要想七八是多少，

但我总要从一八得八二八十六一直按从小到大的顺序想到七八五十六，

我觉得有点慢了。

八的口诀最大就到八八六十四，

接着就是七八五十六，

倒着想口诀会快一些。

记口诀时，

可以从小到大按顺序记，

也可以从大到小倒着记，

还可以跳着记。

慢慢的，

我们就能够看成树，

快速想到它们的鸡了。

接下来我们看算式，

直接说得数。

二乘八等于14。

二八十六二乘八的结果应该是16呀，

不是14，

我们可以想两个八相加，

八加八等于16，

口诀是二八十六七的乘法，

口诀中有一句积是14等十二七十四，

两个七相加才是14呢。

二乘七等于14。

谢谢你对我的帮助，

我把这两句乘法口诀记混了，

现在我知道了，

还可以想一想这道乘法算式的意思，

用加法算式来帮忙验证。

七乘五等于35。

八乘六等于48。

屏幕前的同学，

你都算对了吗？

如果有错，

可以想一想自己错在哪儿了。

避免今后再出现同样的错误。

我们现在学习的乘法口诀，

无论是口诀的数量，

还是口诀中积的大小，

都在逐渐增加。

记忆口诀的难度也随之增加了。

希望同学们能够用上大家交流时的好方法。

正确用乘法口诀进行计算。

可爱的小蝴蝶挡住了算式中的数。

在这个乘法算式中，

小蝴蝶挡住的数是几？

先想一想。

再说一说。

小蝴蝶挡住的数是四，

我想到的口诀是几七二十八四七二十八，

所以小蝴蝶挡住的是四。

我们看看对不对。

小蝴蝶飞走了。

同学们的答案是对的。

两只调皮的小蝴蝶分别挡住了两个乘数。

只知道积是24。

他们挡住的可能会是几和几。

我们可以怎样想？

我觉得小蝴蝶挡住的数可能是三和八或八和三。

我觉得小蝴蝶挡住的数可能是四和六或六和四。

同学们。

想一想，

他们说的有没有道理？

我认为他们说的有道理，

这道乘法算式的积是24，

在我们学过的乘法口诀中，

积是24的有两句。

分别是四六二十四和三八二十四。

看来，

巧用乘法口诀不仅能够帮助我们直接计算出乘法算式的积。

还能够帮助我们推算出乘法算式中的乘数。

根据这两组乘法算式。

你能试着讲一个数学小故事吗？

想一想。

把你讲的数学小故事写一写，

画一画，

记录在纸上。

开始吧。

同学们都分别根据这两组算式讲出了自己的数学小故事。

小亮和小明不约而同讲了一个关于战队的小故事。

我们一起来看一看。

我们班的同学们在操场上站队时，

每行站八人，

有这样的三行，

一共有24人。

按照这种方式站队，

站出的队列是什么样的？

小亮还配了一幅图。

你看懂他的想法了吗？

我看懂了，

他用剪子来表示人，

每行站八人，

有这样的三行，

一共有24人，

我能看出三个八连加是24。

这幅图我们还可以怎样观察？

你能为这幅图再配上一个关于战队的小故事吗？

这幅图我们还可以竖着来观察，

同学们在操场上站队，

每数列三人，

有这样的八数列，

一共有24人，

八个三连加也是24。

我明白了这幅图，

无论是横着观察找到三个八，

还是竖着观察找到八个三，

他们列出的算式都是八乘三等于24，

或是三乘八等于24。

用的口诀都是三八二十四。

我们再来听听小明写的数学小故事。

我们班在站队时，

每行站六人。

占了这样的四行。

一共有24人。

按照小明讲的这种方式站队。

站出的队列是什么样的？

你可以想一想，

画一画。

这是一位同学画的图。

和你想的一样吗？

比较这两幅图，

你有什么发现？

我发现无论是每行八人，

占三行，

还是每行六人，

占四行，

总人数都是24人。

祝贺同学们不仅能够根据乘法算式讲数学小故事。

还能够配上图来说明算式表示的含义。

小蝴蝶挡住的还可能是哪些书朋友呢？

课下，

同学们可以开动脑筋找一找。

在这个连加算式中。

星星代表同一个数。

猜一猜它表示几。

我知道了，

星星表示的是七，

在这个算式中，

星星代表同一个数，

我就数了数，

发现七颗星星连加的和是49，

也就是星星乘七等于49，

于是我就想到了七七四十九这句口诀。

七乘七等于49，

所以星星表示的是七。

同学们成功的找到了暗藏在这个连加算式中的信息。

根据乘法意义分析出七个七连加是49。

用七七四十九这句乘法口诀推算出了结果。

真会思考。

接下来，

我们一起来解决问题吧。

这是数学书第77页的第十题。

通过这幅图，

你能知道一共有多少名花样游泳运动员吗？

小明发现。

虽然他们每组摆的造型不同。

但是每组的人数是相同的。

都是八零。

有这样的三组。

要求一共有多少名花样游泳运动员？

也就是求三个八相加的和是多少？

用乘法计算。

八乘三等于24。

也可以是三乘八等于24。

一共有24名花样游泳运动员。

我们再来看数学书第74页的第九题。

看到这幅图，

请你先提出一个用乘法解决的问题。

再解答。

我们一起来交流大家的想法。

小红提出的问题是？

一共有多少个草莓？

想一想。

你会解答吗？

有七个蛋糕。

每个蛋糕上都有三个草莓。

要想知道一共有多少个草莓，

也就是求七个三相加是多少？

用乘法计算。

三乘七等于21。

也可以是七乘三等于21。

用的乘法口诀是三七二十一。

瑞瑞提出的问题是？

一共有多少块蛋糕？

有七个蛋糕。

每个蛋糕都切成了六块。

这样我们就能知道七个六相加是42。

算式是六乘七或七乘六都等于42块。

口诀是六七四十二。

同学们太棒了，

同一幅图，

大家能够从不同的角度观察。

提出不同的问题。

但都借助乘法的意义找到了几个几相加。

列出乘法算式。

利用乘法口诀计算出了结果，

从而解决了问题。

同学们。

今天我们进行了七八的乘法口诀练习。

大家不仅能够想办法熟练的记住这些口诀。

还能够根据乘法的意义，

灵活的运用口诀，

帮助我们计算和解决问题。

具体内容在数学书第七十三七十四页和第七十六七十七页。

课后大家可以用你喜欢的方法记一记学习过的乘法口诀。

同学们，

这节课我们就上到这里。

有动作的数学小故事2

爱因斯坦上学前的一天，他生病了，本来沉静的孩子更像一只温顺的小猫，静静地蜷伏在家里,一动也不动。父亲拿来一个小罗盘给儿子解闷。

罗盘

爱因斯坦的小手捧着罗盘，只见罗盘中间那根针在轻轻地抖动，指着北边。他把盘子转过去，那根针并不听他的话，照旧指向北边。爱因斯坦又把罗盘捧在胸前,扭转身子，再猛扭过去，可那根针又回来了，还是指向北边。不管他怎样转动身子，那根细细的红色磁针就是顽强地指着北边。

小爱因斯坦忘掉了身上的病痛，只剩下一脸的惊讶和困惑:是什么东西使它总是指向北边呢?这根针的四周什么也没有，是什么力量推着它指向北边呢?爱因斯坦67岁时仍然为童年时的“罗盘经历”感慨万千。

使用罗盘时方法：

1、首先打开罗盘表，放松制动螺丝，让磁针自由转动。

2、其后把罗盘放在胸前，罗盘的上水准器对准被测物体。然后转动反光镜，使物体及长瞄准器都映入反光镜，并且使物体、长瞄准器上的短瞄准器的尖及反光镜的中线位于一条直线上。

3、当磁针停止摆动时，即可直接读出磁针所指圆刻度盘上的数，也可按下制动螺丝再读数。

罗盘和指南针有所不同，罗盘的周围配有八卦、阴阳、五行，对气场的感应要比指南针更加灵敏。罗盘有很多种，一般的罗盘，底盘是正方形的，代表着大地，中间是圆形，代表天，称为天圆地方。罗盘是测风水的重要工具，它的基本作用就是定向。

指南针

罗盘的简单操作：罗盘有东南西北四个基本方位。罗盘的指针一般指向南，然后转动罗盘的内盘，让指针和天池底下的红线重合，这样罗盘面上的鱼丝线压住的度数就是要量的度数了。接着要将罗盘保持水平，确定罗盘是否保持水平，可以观察罗盘的气泡水平仪，当看到气泡处于罗盘中间，就是保持水平。

然后，要确保罗盘和需要测量的建筑物或其它风水地的正前、正后、正左、正右。四个方位也是平行的。这样才能测出建筑物的坐向。需要注意的是测量时，罗盘靠着墙壁可以保证平行，以确定数据的准确性。

罗盘

小小的罗盘，里面那根按照一定规律行动的磁针，唤起了这位未来的科学巨匠的好奇心一探索事物原委的好奇心。而这种神圣的好奇心，正是萌生科学的幼苗。

我是@榆思见，喜欢数学故事，请关注我，将持续更新！

（图片来源于网络，侵删）

有动作的数学小故事3

人们喜爱图片，总能第一眼就看到它们。我们的大脑不是用来读字母、写数字、做复式记账、编乐谱或解数学方程的，这些都只是人类故事的插曲。人类生存和进化的环境其实更适合被理解和记忆为图像。我们觉得图片趣味十足，能传播知识、便于记忆、给人以启发。

在最早的人类学文化遗址中，蕴合着极其复杂的图像，例如拉斯科洞窟壁画。即使在今天，这些图像也堪称艺术品。图片以生活为基础，把原始社会中的关系拼接在一起，以各种风格和主题勾勒出人类历史的各个阶段，并跨越千古留下了传统和社会的记忆。图片也曾集中反映宗教情感与宗教思考，激发人们把自己单纯作为主体进行内在的思维活动。在所有表现形式中，图片力求再现并概括现实的东西，使之产生瞬间的冲击力——无须记忆，却难以忘怀。

在过去的30年中，人类最伟大的成就之一，就是一些极其简单的规则可以从丝毫没有随机性和不确定性的条件出发，最终导致从任何现实角度上来说都完全无法预测的情况。下文经出版社授权摘编自《科学的画廊：图片里的科学史》，其中分享了三个经典图片中的数学发现故事。

《科学的画廊：图片里的科学史》，约翰·D.巴罗著作，唐静 等译，人民邮电出版社2022年6月。

五个大明星

柏拉图多面体

数学史上最美妙、最独特的发现之一。

——赫尔曼·外尔

多边形就是你在一张平整的纸上画的由直边围成的图形。正多边形的边长相等，内角也相等。尽管有这些限制，正多边形仍然有无穷多种。最简单的例子就是有三条边和四条边的正三角形和正方形了，当然还可以有更多条边。说出任何一个确定的数字，无论它有多大，只要你的铅笔够用，就一定能够画出一个拥有相同数量的边的正多边形。随着边数增大，你用肉眼越来越难以分辨多边形和圆形了。我们可以把圆形想成由无限多条边组成的多边形。总之，正多边形的数量是无限的。

如果我们把注意力从平面多边形转向它在三维空间中对应的概念，那得到的就是凸多面体，即向外凸的多平面立体图形。如果对平面没有特殊要求，那么它们就会产生无数种可能。但是，假设我们把对象限制在正凸多面体上，即各个面完全相同的多面体，那么会有多少种可能呢？

这些图形是莱昂纳多·达·芬奇的画作，收录在意大利数学家卢萨·帕乔利（Lusa Pacioli）1509年出版的《神圣比例》（De Divina Proportione）一书中。图中的正多面体即为5个柏拉图多面体，也属于九大正多面体。其每个面都是相同的正多边形。正十二面体由12个五边形组成。正二十面体由20个等边三角形组成。正八面体由8个等边三角形组成。正四面体由4个等边三角形组成。立方体（或称正六面体）由6个正方形组成。

奇怪的是，总共只有五种正多面体：正四面体（有4个三角形面）、立方体（有6个正方形面）、正八面体（有8个三角形面）、正十二面体（有12个五边形面）、正二十面体（有20个三角形面）。人们已经证实，从二维到三维的变化是有局限性的。欧几里得在《几何原本》的结尾处证明了这五种多面体是唯一可能的立体图形。但希腊人在很早以前就已经知道这件事了，他们把这些称为“柏拉图多面体”，因为柏拉图曾在公元前约350年出版的《蒂迈欧篇》一书中描述过这些立体。在这部著作中，柏拉图开创了把这五种对称形状与宇宙的意义联系起来的先河，他把正四面体和火元素等同起来，把立方体同土联系起来，而正二十面体对应的是水，正八面体对应的是空气，正十二面体对应的是一种很轻的物质（以太）——这种物质构成了星群和天空。

四种星形多面体，有时被称为“开普勒–潘索多面体”。它们是大十二面体（左上）、小星形十二面体（右上）、大星形十二面体（左下）以及大二十面体（右下）

想弄清到底是谁最先发现了正多面体，有点儿像尝试找出是谁发明了火。但是，柏拉图把正多面体的发现归功于雅典的泰阿泰德（Theaetetus），他可能是柏拉图在雅典学院的一个学生。历史学家相信，《几何原本》后几卷中的一些内容完全是由泰阿泰德的发现衍生而来的，还有其他一些记载在欧多克索斯和帕普斯的著作中。一个较早的说法是：“所谓的五种柏拉图多面体其实并不属于柏拉图。其中三个是由毕达哥拉斯发现的，它们被命名为立方体、角锥体和正十二面体。而正二十面体和正八面体是由特埃特图斯发现的。”

文策尔·雅姆尼策绘制，约斯特·安曼 （Jost Amman）雕刻的美丽版画

柏拉图神秘的立体占星学联想一直吸引着西方思想家。开普勒试图在《宇宙的奥秘》这部著作中将柏拉图多面体的五重和谐与天空联系起来。开普勒太阳系的模型用到了所有五种柏拉图多面体，以此描述16世纪时人们知道的六大行星的 轨道。他用柏拉图多面体内切球和外接球的直径之比，来指明行星在自身轨道中离太阳的最大距离和紧挨着的外层行星离太阳的最短距离之比。这就产生了六个 已知星球的五种比例。每个柏拉图多面体都被安排在两个相邻的行星之间。

当内层行星离太阳最远时，行星在柏拉图多面体的内切球上；而当外层行星离太阳最近时，行星在相应的外接球上。当早期的古希腊人最早开始列举组成柏拉图多面体的五种正多面体时，他们把目标限定在凸多面体上，也就是向外凸的多面体。如果我们允许多面体向内凹的话，两个共用一条边的面可以形成小于180°的角，那么就会产生四个新成员，它们被称为正星形多面体，即大星形十二面体、小星形十二面体、大十二面体以及大二十面体。

在文艺复兴时期，工匠们想利用柏拉图多面体图形作为装饰，于是逐一发现了这些新多面体。开普勒也注意到，可以把固定高度的角锥体添加到正八面体、正十二面体和正二十面体的面上，这样的话，角锥体的侧面就会连成一个平面。他由此引出将多面体组合起来的概念，因此它们就有了交叉面，很像三维版的“大卫之星”（犹太教的标记，为两个正三角形叠成的六角星。——译者注）。这些可能性并没有像凸多面体那样被系统化地理解。

直到1810年，法国数学家路易·普安索（Louis Poinsot）的一篇文章中对其进行了说明7，所以这些立体图形也被称为“开普勒–普安索多面体”。其实，纽伦堡著名的金匠文策尔·雅姆尼策（Wenzel Jamnitzer）曾于1568年出版了《几何美学》（Perspectiva Corporum Regularium）一书，书中的图就已经预示到了这些图形。1812年，奥古斯丁·柯西（Augustin Cauchy）才证明，普安索推测的四种立体图形就是三维空间里所有可能的星形多面体8。而这些略显奇怪的英文名字是在更久之后的1859年，由英国数学家亚瑟·凯莱（Arthur Cayley）命名的。

如今，这些多面体对于数学家来说仍然具有美学上的吸引力和几何上的魅力9。一直以来，这些立体图形组成的模型都让人们惊艳于它们的美丽、对称性和简洁10。由此，我们似乎可以理解为什么人类一直执着于找寻身边的有限事物和永恒的几何和谐之间掩藏的超自然联系。这种几何和谐对于人类来说意味着来自宇宙的暗示。

上帝踢足球吗？

巴基球

上帝或许不掷骰子，但可能会踢足球。

——哈里·克罗托

在研究了柏拉图多面体之后，阿基米德马上发现可以创造出13种半正多面体。只要对称地截掉立方体、角锥体、正十二面体、正二十面体和正八面体的顶点，就能创造出这五种相对应的多面体，这就是“阿基米德多面体”。这些多面体的面仍然是正多边形，但这些多边形却不尽相同。它们的顶点都很相似，但面却不完全相同。仿照此法，也可以构建出另外八个阿基米德多面体。我们可以把它们看作继柏拉图多面体和星型多面体之后的第二对称多面体。

达·芬奇所绘的截角二十面体，这是他为帕乔利的书《神圣比例》绘制的插图

人们发现，某一个阿基米德多面体在宇宙中具有极特殊的重要意义，并且在近20年来的化学发展中有着举足轻重的地位。这个特殊的多面体就是阿基米德截角二十面体。它有60个顶点和32个面，每三个面相交于一个顶点，此外还有90条边。32个面中包含20个六边形和12个五边形，所以，每两个六边形和一个五边形相交于一个顶点。这是一种美丽的结构，但对读者来说，比起上述事实，大家马上能想到的恐怕是另一样东西。足球到了近代就变成了这种由黑色的五边形和白色的六边形组成的典型形状。

建筑师理查德·巴克敏斯特·富勒（Richard Buckminster Fuller）在他1949年设计的网球格顶中大量运用了二十面体的几何结构。富勒是一位自学成才的结构工程师，一直以来都努力通过数学上的对称来达到多重优化的目的，比如减少用料、降低组装难度以及加强结构的稳固性。他很欣赏妙用材料的方法，比如，一种材料在某种情况下可能极其脆弱，但只要按照适当的几何构型加以组织利用，就可以达到相当大的强度。蛋壳就是一个大家都熟悉的例子。

阿基米德多面体，都由两种或两种以上多边形的面构成

富勒在1954年的专利文件（专利号：2682235）中的画作

1967年，富勒为蒙特利尔世界博览会设计的美国馆就是一个由网格状球顶构成的建筑，球顶上的面是由五边形和六边形交织构成的截角二十面体。整个建筑令人叹为观止。这是一个关于对称和功能的伟大宣言，建筑的规模和形态引起了很多科学家和设计师的注意，其中就包括哈里·克罗托（Harry Kroto）。克罗托是一位毕生都对建筑和平面设计充满兴趣的化学家。其实，哈里曾是我在英国萨塞克斯大学的同事，当我第一次被任命为讲师的时候，他甚至还坐在评审席上。哈里一直以来都对在特殊情况下碳分子能否在空间分子云里形成长链的问题很感兴趣。

要验证这样一个问题需要两个步骤：首先，在严格控制的实验室环境中创造出类似的链；然后，看是否有空间中的分子和这些人工制造出的链在光谱的特征上相匹配。1985年，哈里加入了理查德·斯莫利（Richard Smalley）和罗伯特·柯尔（Robert Curl）在美国得克萨斯的莱斯大学领导的研究团队，团队中还有研究生詹姆斯·希思（James Heath）和肖恩·奥布赖恩（Sean O’Brien）。他们打算用激光束打碎碳原子团，然后观察遗留物在汽化以后是否会凝聚成一些有趣的新碳聚合物。团队发现，形成的新团都有偶数个原子。在稍微调整了实验之后，他们可以创造出几乎总是包含60个碳原子的原子团。团队试图为实验结果找到一个合理的解释。

《自然》杂志1985年11月14日的封面，庆贺罗伯特·柯尔、哈里·克罗托和理查德·斯莫利发现了碳-60

哈里也百思不得其解，为什么碳会更倾向于形成碳-60的形式呢？这时，他想起了曾为孩子们用纸壳做的小截角二十面体，以及富勒的球顶。他马上打电话给英国的家人确定了自己所做的模型的几何构成。他相信，碳形成的就是截角二十面体，碳原子位于该构型的60个顶角上。哈里做了一个由五边形和六边形构成的纸模型，并在随后的11天里疯狂工作。从1985年9月1日一直到9月12日，他完成了论文并投稿给《自然》杂志。该杂志在9月13日收到稿件后，于11月14日将其刊出，并在封面上刊登了相应的图片。

人们给这些碳原子起过很多名字。起初它被称作“富勒烯”，以纪念“富勒顶”结构为化学做出的贡献；之后还有更不正式的名字——“巴基球”，甚至偶尔也被称为“足球烯”。

这个富勒顶的原型是一个斜方截半九面体，照片拍摄于1954年圣路易斯华盛顿大学

发现新的碳结构是化学界的一次伟大革命，它使无机化学和有机化学联合在一起，并提供了在分子层面上构建物质的新方法。柯尔、斯莫利和克罗托分享了1996年的诺贝尔化学奖。巴基球的对称造型自然而然地成了化学的象征，很多科学杂志都以这一形象为封面，以庆贺碳分子的新发现。这样的盛况恐怕只有当年发现脱氧核糖核酸能与之媲美。

一面之词

默比乌斯带

“小鸡为什么要穿过默比乌斯带？”“为了到另外一……呃……”

——无名氏

把一张长条纸的两端粘在一起，形成一个圆柱体。在上小学时，大家应该都曾做过无数遍这样的事了。这个圆柱体有内侧也有外侧。但是，如果你在把两端粘在一起之前先把纸带扭一下的话，就会创造出一个与众不同的东西。这个环看起来像是一个立体的数字8，并有一个令人震惊的特性——它没有内侧也没有外侧，只有一个表面。如果你用一根蜡笔为这个环染色，那么蜡笔不离开纸带的表面就可以染遍整个环。这一特性甚至会带来商业价值，工厂有时会利用这种单面特性来延长传送带的使用寿命。在20世纪20年代，有人还为默比乌斯幻灯片和录音带申请了专利，这种方法加倍了连续环的长度，而其中的把戏不过是把带子扭曲的部分和滚转机分开。

默比乌斯带

奥古斯特·默比乌斯（August Möbius）是第一个注意到这种有趣的“表面现象”的人，如今数学家们称之为“不可定向曲面”。默比乌斯是德国数学家和天文学家，他母亲一族的祖先甚至可以追溯到马丁·路德。年轻的默比乌斯在测绘和三角法天文学领域取得了一系列成就之后，离开了最初求学的城市莱比锡，来到了德国数学界的中心——哥廷根，并在数学巨匠高斯领导下的哥廷根天文台做起了研究。他又从那里转去哈雷，在高斯的老师约翰·普法夫（Johann Pfaff）的指导下工作。在经历数次辗转后，这位乐于游学的天文学家最后在1848年回到了莱比锡，成为莱比锡天文台的主管和天文学教授。

默比乌斯传送带的早期专利。与传统双面传送带相比，这种单面结构让传送带的使用寿命加倍，传统传送带只有单面可用

默比乌斯对天文学的贡献斐然，但其后半生在数学方面也有了许多新发现，特别是在几何学方面。时至今日，我们仍然在学习源于他的默比乌斯函数和默比乌斯变形。可以想见，作为高斯的学生，默比乌斯在自己的工作成果中设置了很多标准，这让他的所有工作成果的最终成型和发表都很滞后。结果，关于默比乌斯带的论文还是在他死后遗留的论文中找到的，而真正发现默比乌斯带的时间是1858年，当时，他正为“法兰西科学院年度科学大奖”准备一篇关于多面体的文章。在同年7月，默比乌斯带还被另一名德国数学家独立发现，约翰·利斯廷（Johann Listing）也是高斯在物理学和应用数学研究组的学生4。在高斯的建议下，利斯廷开始研究空间结构，而且，为了和他以前的老师在新课题上取得一致，他提出这门学科应该被称为“拓扑学”——这个名称一直沿用至今。然而不幸的是，利斯廷和他的妻子都家境贫寒，经常入不敷出，不时要面对高利贷债主的骚扰。大多数同事认为这对夫妇品行不佳，对他们甚少怜悯。所幸一位老友雪中送炭，在利斯廷濒临破产时，他的老同学萨托里乌斯·冯·瓦尔特斯豪森（Sartorius von Waltershausen）救助了他们。在很久以前，在二人一起读书时，利斯廷曾照顾过这位当时身染重疾的朋友，并救了他一命。30年后，冯·瓦尔特斯豪森得以回报恩人，偿还了利斯廷的债务。这样的命运反转发生在默比乌斯带的发现者身上，不能不说是一桩美谈。

默比乌斯生前未发表手稿中的原始图画（1858年）

默比乌斯带不仅对数学家充满了吸引力，而且激发了众多艺术家和设计师表达无限和完美的渴望。其中最著名的莫过于毛里茨·埃舍尔，他画出的“活”默比乌斯带已经成为20世纪制图术的标志性作品。埃舍尔在默比乌斯带启发下创作的作品中，描绘了9只红铜色蚂蚁在永无止境的带子上爬行。

在埃舍尔画廊中，有《不可能三角形》《瀑布》等主题作品，默比乌斯带也在其中，其外观经常让参观者陷入一种错觉：默比乌斯带是一种不可能的图形。但默比乌斯带确确实实存在，只不过有点出人意料而已。

埃舍尔的《默比乌斯带Ⅱ：红蚂蚁》（Möbius StripⅡ: Red Ants），由红、黑、灰绿色组成的三组木版画（1963年）

埃舍尔并不是唯一挖掘默比乌斯带特性的杰出艺术家，在20世纪30年代，瑞士雕刻家马克斯·比尔（Marx Bill）认为，拓扑学的发展为艺术家们拓展了一片未知的疆域。他以金属或花岗岩为材质，创作了一系列以“无穷丝带”为主题的雕刻作品。

比尔做出了实实在在的三维默比乌斯带。在20世纪70年代，美国高能物理学家兼雕塑家罗伯特·威尔逊用不锈钢和铜做出了类似的默比乌斯带。英国雕塑家约翰·罗宾森（John Robinson）的作品《永恒》（Immorality）是由抛光铜制成的被扭成默比乌斯带的三叶草结。在尼克·米的数码艺术作品中，这个闪闪发光的三叶草结悬浮在一片虚幻的海上（下图）。很多人还把默比乌斯带结构应用在建筑中，创造出叹为观止的建筑物和生动有趣的儿童活动区。

尼克·米虚拟地呈现了约翰·罗宾森的雕塑，被扭成默比乌斯环的三叶草结

小说家们也抓住了机会，把默比乌斯环设计进了奇幻的故事中。1949年，亚瑟·C.克拉克（Arthur C. Clarke）把整个宇宙描述成“黑暗之墙”。把平凡的生活和不可思议之物结合起来更显有趣，正如在阿明·道奇（Armin Deutsch）的短篇小说《一条名叫默比乌斯的地铁》（A Subway Named Möbius）中，波士顿的一条地铁线变成了默比乌斯带，从此，列车经常消失，一位哈佛大学的数学教授被卷入其中……也许这才是故事的关键，这条地铁线可能就是这位教授设计的！

在新材料技术和各种思想突飞猛进的今天，默比乌斯带始终挑战着人们的想象力。无论谁都难逃它的魅力，说不定还有人反而羡慕那些从未听说过默比乌斯带的小孩子呢。

文/约翰·D.巴罗

摘编/李永博

导语校对/贾宁

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内容更新时间（UpDate）： 2023年03月04日 星期六