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无理数的产生是不知名数学家用生命换来的，你知道吗？,下面一起来看看本站小编高中数学景老师给大家精心整理的答案，希望对您有帮助

有故事的无理数1

一、认识有理数

人们最早认识的数当然是自然数，“1、2、3.....”，这些也是我们孩子我们自己小时候、我们父母小时候认识数字的启蒙知识。后来，人们在测量长度以及类似的生产活动过程中，发现只靠自然数往往不能解决实际问题。比如，人们规定了一个长度叫做“码”，并制作了一些一码长的“码尺”用来测量长度。但是，实际测量过程中，大量被测量的长度不会正好是整数的“码”那么长。为了测量更精确，人们就把码”再平均分成若干份，被测量的长度有时正好是这一小份长度的整数倍，从而得到更加精确的测量结果。于是人们认识到，被测量的长度要么是个整数，要么是一个整数除以另一个整数的商。当时的人们认为，永远可以找到一个合适的长度，能够整除任意两个长度。我们把可以被同一个数整除的两个数叫做“可公度”的，换句话说，当时的人们认为，任意两个数都是可公度的。这个认识用我们今天的话讲，就叫做“任何数都是有理数”。两千多年前的大数学家毕达哥拉斯及其学派是当时对“数”的认识的集大成者，他们认为“万物皆数”，并认为所有数都是有理数。毕达哥拉斯在一次出席奥林匹亚竞技运动会时，碰到了弗利尤斯Phlius)的里昂王子。王子问他如何描绘自己？毕达哥拉斯回答说自己是“哲学家”，并给出了“哲学家”的含义：“有些人因爱好财富而被左右另一些人因热衷于权力和支配而盲从，但是最优秀的一类人则献身于发现生活本身的意义和目的。他们设法揭示自然的奥秘。这就是我称之为哲学家的人。”这是我最喜欢的一段话之一，抄录在这里，与朋友们共勉。

二、认识到无理数

人们认识到无理数的故事是一个很悲伤的故事，可能不少朋友都知道的。毕达哥拉斯的一个学生西伯斯从毕达哥拉斯定理(勾股定理)出发，发现两个直角边长度都是1的直角三角形的斜边长度是无法和其它数公度的。当他把这个发现告诉毕达哥拉斯的时候毕达哥拉斯认为他触犯了神的意志，毕达哥拉斯坚信不会存在这样的“没有道理的数”，可是毕达哥拉斯又无法从逻辑上推翻西伯斯的结论。为了维护自己的尊严，毕达哥拉斯判处把这个学生西伯斯扔到大海里面淹死了。终身努力揭示自然的奥秘的毕达哥拉斯，居然如此盲目而迷信的扼杀了科学的真理，实在可悲可叹。

于是，√2不可能与1（或任何有理数）公度， /2必然是一个无理数。

从此，人们认识到了更加抽象一些的无理数，这是人们对数的认识的第一个巨大飞跃。人们把有理数和无理数统称为实数，并且实数可以直观的与数轴上的点——对应(按照其到原点的距离)。

三、从无理数扩展到代数数，从而认识到超越数

有故事的无理数2

在上一期节目中，我们通过希帕索斯的故事发现，根号2所表达的数字，是一个不同于整数和分数的无限不循环小数，那么，这样的数它叫什么数呢？哎，别着急，在本期节目里呀，咱们把初中数学中所涉及到的所有数字类型，从头到尾的梳理一遍。

首先，咱们知道有12345这些自然数，自然数呢，都是从1，往后一个一个加，慢慢儿加出来的。那么，有了加法，就得有减法呀，两个小的自然数一加，就得到一个大的自然数，反过来，这大数减小数呢，就还能得到一个小的自然数，可是，如果这个小数减大数呢？它就得到了负数，有了正数负数，那自然就必须得有0了。如果我们把这个自然数负数和0整到一起，就统称整数儿。

而且，我们还知道了，乘法是快速的加法，两个整数相乘，相当于几个整数连着相加，结果呢，就仍然是一个整数。所以这个乘法呀，它是产生不了新的数字类型的，但乘法不行，它不是还有除法呢吗？当两数相乘的时候呀，增长的速度奔二快，比方说3*2=6,3*3=9,那6跟9中间儿的数字除以3怎么办呢？结果肯定没法整除呀，这样一来就产生了分数。哎，发现没有呀，无论是减法还是除法，这只要有逆运算，它就会产生新的数字类型。整数和分数合在一起呀，我们就统称他们为有理数。就是有道理的那个有理。那你说了，这整数和分数它有什么道理呀，没什么道理，其实这是一种翻译错误，最早这个词的含义是可比数或者可分的数，但是当欧洲的这个数学教材先传到日本，经过日本翻译以后呀，他们就把这个可比数，翻成了有理数，然后就一直这么叫了。不管它叫什么吧，有了有理数呀，那就得有无理数。无理数是什么呀，哎，就是今天咱们要讨论的像根号2这样的无限不循环小数。

咱们都知道呀，这乘方和开方是互为逆运算的，乘方和加法乘法是类似的，他们都是正向的运算，所以靠乘方呀，不会带来新的数据类型，但是开方就不一样了，你这个乘方的增长速度这么快，肯定中间就会跳过好多数字儿呀，比方说1的2次方是1，2的2次方是4，那在1和4之间的2、3怎么办呢？哪个数儿的平方是2，哪个数字儿的平方是3呀，没办法，无论是整数还是分数，没有任何一个数的平方是2，所以这个结果，就只能通过根号2来表示。根号2是无理数，根号3也是无理数，那么是不是所有的无理数都是开方开不出来的数字儿呢，不是这样，只要是无限不循环小数，它都是无理数！比方说，我们熟知的圆周率π，它也是一个无理数。

有理数和无理数合在一起，统称实数。实数，按照负号分，可以分为正数负数和0，按照算法分呢，就可以分为整数、分数和无理数。这就是初中阶段我们所能接触的全部的数字类型。那你说，不对呀，我们还学过有限小数和无限循环小数呢？哎，这些小数呀，是全部都可以化为分数的，今天呐，我们就把这个知识点带给大家：

首先，这个有限小数都能变成分数，这个大家是很容易理解的，比方说0.3，他就是十分之三，2.54呢，就是一百分之二百五十四。不管你的小数位数有多长，我只要在1后边儿多加上几个0就行了。那么循环小数呢？所有的循环小数都能变成分数吗？可以的！这个循环小数变分数的时候啊，只要用循环的几个数字儿当做分子，在分母上补充上对应的几个9就可以了，比方说这个0.1，如果1是循环的，咱就可以用1做分子，用1个9做分母，结果就是九分之一。不行咱就除一下试试，1除以9，商0，然后在1的后边儿补上0，变成了10，10-9等于1，然后呢，继续补上0，又变成了10除以9，所以后边儿就是0.1循环了。

同样，如果是0.12,12不断的循环呢，那么变成分数后，分子就是12，因为分子有两位，所以分母就是两个9，也就是12/99。那如果是0.423循环呢，当然就是423/999了。

那么，如果小数位不是全部循环的，只有部分循环怎么办，比方说，0.3245，后边儿的这个45是反复循环的，前边儿的32并不循环，这怎么办呢？也好办，只要把99的后边儿补上几位0就可以了，比方这个0.3245，前两位不循环，后两位循环，那么分子仍然是3245，分母就是9900。几个循环数字就几个9，几个不循环数字就是几个0。

哎，那你说，这不对吧，世界上有那么多分数，怎么可能分母都是带9的呢，那些不带9的怎么办呢？比方说三分之一？哎，你忘了，三分之一可以变成9分之三呀。换句话说9分之3也能约分成三分之一。其他的分数，也全部都能化成分母是几个9的分数，比方说1/7吧，它怎么变成几个9呀，哎，它能变成142857/999999，那你说，神了呀，为什么所有分数都能化成几个9几个0的这种形式呢？这个问题呀，稍微复杂一点儿，在这里，咱们不给出代数证明，只给出一个解释性的说明。首先，任何一个分数都可以拆成两部分的成绩，也就是几分之一乘以几得到的，对不对，然后关键在于，这个几分之一呀，它一定是一个循环小数，当一个数被1除的时候，其实1后边儿是要反复的补充0的，那么随着这个除法的进行呢，它又会一点儿一点儿的往下减，那么什么时候，这个分数就开始循环了呢？等减的余数剩下1的时候，你想呀，这个剩下的余数1，肯定后边儿还是要补充0的呀，所以它可不就循环了呗，而咱们别忘了，刚才咱们是在1后边儿补充了很多狠多的0，所以刚才咱们得到的循环节乘以这个除数，得到的一定很多个9的组合。

那么，这里边儿就会有一个问题了，0.9循环等于几，按照这个规律，0.9循环，应该等于9分之9，等于1才对，但是，我们怎么看，怎么都觉得他肯定比1小。可是如果我们看看这个循环小数的规律，又觉得它一定是等于1的，为什么呢？很简单呀，0.1循环等于1/9,0.2循环等于2/9，0.3循环等于3/9一直到九分之八，这个规律都一点儿没错儿，那凭什么到了0.9循环就不一样了呢？其实呀，0.9循环，确实是等于1的。这个证明方法呀，很多很多，但是无论怎么证明，咱们大多数人呐，就是过不了心里的那道坎儿，总觉得1减去0.9循环，应该等于0.0循环，而后后边儿还有个1才对。实际上，世界上根本没这么一个数儿，0.9循环的的确确就是等于1的，你要实在不理解呀，我就给你打个比方，我们知道1用分数来表示，可以使百分之百。话说这个人哪，没有100%完美的，但是呢，你只要朝着100%的方向，不断努力，哎，你就是100%的完美了。

好的，本期节目中，我们介绍了初中数学的数系，关于小数和分数的转换方法呀，并不在初中数学的教学范围内，所以呀，也不要求大家掌握，只要有一个基本的了解就可以了，好的，本期节目就是这样，我们下期再见。

有故事的无理数3

[遇见数学创作小组] 作者: 心如止水(Java程序员。善于把复杂的数学知识，简洁易懂地表达出来)

第 1 次数学危机源自无理数√2，在那次危机中有著名故事『毕达哥拉斯杀人事件』。

很多科普读物勾起读者兴趣之后，并没有再继续探讨下去，让人觉得这个问题之后就被解决了。其实不然，这个争论持续了 2000 多年，直到19世纪才彻底结束。

怀疑并不是无来由的，虽然当时人们已经认识到无理数是无限不循环小数，但是你又怎么证明「无限不循环」的存在呢？19 世纪的德国数学家克罗内克就不承认无理数存在：「上帝创造了整数，其余都是人的工作。」

这是数学家的严谨态度：数学基础要建立在自然数上，如果有数不能从自然数中推出，那就是有问题的。问题绵延2000多年也未能解决，毕竟它不妨碍生产和生活。微积分诞生后，立即就发挥了重大作用，很多在初等方法下困难重重的问题，通过它可以被轻松解决，所以已经被广泛的应用到生产生活当中了。

但微积分理论从开始就带着问题，尤其是牛顿的「流数术」，在论证的过程中舍去了「无穷小量」，并未作出解释。

其中最著名的批评者是「贝克莱主教」，他在《致一位不信神数学家的论文》中称无穷小量为「已死数的幽灵」，称微积分是「依靠双重错误得到了不科学却正确的结果」。虽然这篇文章包含着神学的味道，但提出的数学问题却切中要害。

对于微积分的责难没有停止过，但牛爵爷是个彻彻底底的实用主义者，他完全不管这事。莱布尼茨虽有心补救，但并未成功。后来人们发现，微积分的问题在实数本身。[1] 数学的大厦上有个小裂缝，最初似乎完全不碍事，但千年的风吹雨打让它越来越大，以至于数学大厦已摇摇欲坠，数学大厦的地基需要被加固了！

终结者戴德金

问题终结在「戴德金」和「康托尔」手上，他们的工作揭示了：实数系统并不能依赖初等方法从有理数中构造出来，而须于依赖无穷集合。构造实数的方法有很，其中最易理解的是「戴德金分割」。

首先，有显而易见的「有理数公理」：

数是有序的。不同的两个数，顺序关系有且只有一种，要不就是大，要不就是小。

数是稠密的。任何两个数中间都有其他数。

数集是可分的。以任意数 a 为界，可以将整个数集分成『比a大』(右集)和『比a小』(左集)两部分。至于数 a 本身，归于哪一边都是可以的，不影响讨论。

大致的描述一下，戴德金分割产生无理数的过程(确界公理) [2]：

先明确一下「下确界」概念：集合 E 中的所有元素都大于等于数 a，则数 a 就是集合下界。所以说，集合下界可有无穷多个，其中最大的就是「下确界」。

如果证明，数集有界就有「下确界」，并且「下确界」不是有理数，就可以通过这种方式找出「无理数」。

实数是连续的

想象大剪刀把数轴剪断，如果数轴是由「有理数」组成的，那么剪刀可能会「减空」，也就是断口处没有任何数，而对于「实数」来说却不然，「实数」是连续的！

由戴德金分割给出的无理数定义，证明了实数的连续性(完备性)，成为数学的基础，这也被称作「数的连续统」或者「连续公理」。

从此直线上的点与数轴上一一对应了(Cantor-Dedekind 公理) [3]，代数几何之间的鸿沟被填平，持续了 2000 多年的第 1 次数学危机，画上了句号。同时也为微积分打下了坚实的数学基础，这对 19 世纪后的数学产生了巨大影响。

康托尔与戴德金

虽然，戴德金和集合论创始人康托尔未曾谋面，但是却有书信来往。

康托尔的的理论遭到了当时同行们的恶毒攻击，甚至可以说是迫害，以致其最后因精神失常死于疯人院。对于康托尔来说，戴德金是为数不多的亲密盟友了。

这部分内容中，关于实数的连续性理论还是比较直观而有趣的，在此基础上对实数的加减乘除进行定义就更枯燥了，实际上让这部分的内容对于大多数的分析学教程来说也是颇为神秘的。

《数学分析新讲》中就认为，关于实数的内容，不建议初学者一上来就学习，而是建议后期证明中遇到问题之后再回来查阅。因为还没用到的情况下，实在是提不起兴趣，令人昏昏欲睡。

参考资料

• dalaoliblog.wordpress.com/2018/06/05/戴德金切割和连续的实数/
• 大数学家 (科学家传记系列) - 陈诗谷 & 葛孟曾.
• baike.baidu.com/item/贝克莱悖论
• 微积分的历程：从牛顿到勒贝格 (图灵新知)
• 妙趣横生的数学常数
• 数学分析新讲
• 微积分发展史
• zh.wikipedia.org/wiki/无穷小演算
• cnblogs.com/iMath/p/8257142.html

注释

[1] 之所以微积分最后扯到了「实数」，和 2000 多年前的数学危机联系在了一起，是因为在牛顿和莱布尼茨之后，数学家抛弃了「无穷小」而将微积分的基础建立在了「极限」上，从而引发了关于「实数」(无理数)的探究。学习数学分析，最尴尬的地方莫过于，历史的发展和教科书的顺序经常是颠倒的。

[2] 「戴德金分割」和「确界公理」是等价的，都体现了实数的连续性。

[3] 这里所说的「数的连续统」并不是康托生前想证明的「连续统假设」。

内容更新时间（UpDate）： 2023年03月06日 星期一